Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图，在抛物线对称轴上取两个点G、H（G在H的上方），且满足GH=1，连接CG，AH，求四边形CGHA的周长的最小值；

（3）如图，点P是抛物线第一象限的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交BC于点D，PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．

Answer

（1）（2）++1．（3）点P的坐标为（2，3）时，S取最大值，最大值为．

【解析】

（1）由点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线的函数表达式变形为顶点式，可得出抛物线的对称轴，在y轴上截取CC′=GH（点C′在点C的下方），连接BC′交抛物线对称轴于点H，此时四边形CGHA的周长取最小值，由点C的坐标结合GH=1可得出点C′的坐标，由点A，C，B，C′的坐标利用勾股定理可求出AC，BC′的长度，将其代入四边形CGHA的周长的最小值=AC+BC′+GH中，即可求出结论；

（3）由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，设点P的坐标为（m，-m2+m+2）（0＜m＜4），则点D的坐标为（m，-m+2），进而可得出PD的长度，由PE⊥BC，PQ⊥x轴及∠PDE=∠BDQ可得出∠DPE=∠DBQ，结合tan∠DPE=可得出PE=2DE，PD=DE，再利用三角形的面积公式可得出S=PD2，由PD=-m2+2m，利用二次函数的性质可求出PD的最大值，代入S=PD2中即可求出S的最大值．

（1）将A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线的函数表达式为y=-x2+x+2．

（2）∵y=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴抛物线的对称轴为直线x=．

如图2，在y轴上截取CC′=GH（点C′在点C的下方），连接BC′交抛物线对称轴于点H．

∵CC′∥GH，

∴四边形CC′HG为平行四边形，

∴C′H=CG．

又∵点A，B关于抛物线的对称轴对称，

∴BH=AH，

∴AH+CG=BH+C′H=BC′，即此时四边形CGHA的周长取最小值．

∵点C的坐标为（0，2），GH=1，

∴点C′的坐标为（0，1）．

∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（4，0），

∴AC==，BC′==，

∴四边形CGHA的周长的最小值=AC+BC′+GH=++1．

（3）设直线BC的函数表达式为y=kx+d（k≠0），

将B（4，0），C（0，2）代入y=kx+d，得：

，解得：，

∴直线BC的函数表达式为y=-x+2．

设点P的坐标为（m，-m2+m+2）（0＜m＜4），则点D的坐标为（m，-m+2），

∴PD=-m2+m+2-（-m+2）=-m2+2m．

∵PE⊥BC，PQ⊥x轴，

∴∠PED=∠BQD=90°．

∵∠PDE=∠BDQ，

∴∠DPE=∠DBQ，

∴tan∠DPE=，

∴PE=2DE，PD=DE，

∴S=DE•PE=×PD×PD=PD2．

∵在PD=-m2+2m=-（m-2）2+2中，-＜0，

∴当m=2时，PD取最大值，最大值为2，

∴当点P的坐标为（2，3）时，S取最大值，最大值为．