Question

如图，在中，，，，先将绕着顶点顺时针旋转，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到（点的对应点分别是点），联结，如果和相似，那么的长是__________．

Answer

3-5

【解析】

由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．证明△AA′H≌△AA′C（AAS），推出A′C=A′H，AC=AH=2，设A′C=A′H=x，根据勾股定理构建方程即可解决问题．

由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵cosB==，AB=6，

∴BC=4，AC==2，

∵∠A′AH=∠A′AC，∠AHA′=∠ACA′=90°，AA′=AA′，

∴△AA′H≌△AA′C（AAS），

∴A′C=A′H，AC=AH=2，

设A′C=A′H=x，

在Rt△A′BH中，（4-x）2=x2+（6-2）2，

∴x=3-5，

∴A′C=3-5，

故答案为：3-5．