Question

如图，已知梯形中，,，是边上的点，且，交于点.

求证：；

当时，求证：.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）由一线三等角，可得,故．

（2）只要证明四边形ADEB是平行四边形即可解决问题．

（1）∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠DAF=∠B，

∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，∠AED=∠CAD=∠ACB，

∴∠DEC=∠BAE，

∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠ADF，

∴∠BAE=∠ADF，

∴△ABE∽△DAF；

（2）∵AC•FC=AE•EC，AC=AB，

∴AB•FC=AE•EC，

∴，

∵∠B=∠FCE，∠BAE=∠FEC，

∴△BAE∽△CEF，

∴，

∴，

∴FC=EF，

∴∠FEC=∠FCE，

∵∠FCE=∠B，

∴∠B=∠FEC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BE，

∴四边形ADEB是平行四边形，

∴AD=BE．