Question

如图，在中，，,点是边上一动点（不与点重合），以长为半径的与边的另一个交点为，过点作于点.

当与边相切时，求的半径；

联结交于点，设的长为，的长为，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围；

在的条件下，当以长为直径的与相交于边上的点时，求相交所得的公共弦的长.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC=，则sinC=，sinC===，即可求解；

（2）PD∥BE，则＝，即：，即可求解；

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=4，即可求解．

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，

连接HP，则HP⊥BC，cosC=，则sinC=，

sinC===，解得：R=；

（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=，

设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，

则BH=ACsinC=8，

同理可得：

CH=6，HA=4，AB=4，则：tan∠CAB=2BP==，

DA=x，则BD=4-x，

如下图所示，

PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，

tanβ=2，则cosβ=，sinβ=，

EB=BDcosβ=（4-x）×=4-x，

∴PD∥BE，

∴＝，即：，

整理得：y=；

（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，

两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，

∵点Q时弧GD的中点，

∴DG⊥EP，

∵AG是圆P的直径，

∴∠GDA=90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，

∴AG=EP=BD，

∴AB=DB+AD=AG+AD=4，

设圆的半径为r，在△ADG中，

AD=2rcosβ=，DG=，AG=2r，

+2r=4，解得：2r=，

则：DG==10-2，

相交所得的公共弦的长为10-2．