Question

如图1，四边形ABCD是菱形，AD=10，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=6．

（1）求证：DM=BM；

（2）求MH的长；

（3）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；

（4）在（3）的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在，则求出t值，若不存，在请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）3；（3）①当P在AB之间时，S=-3t+15；②当P在BC之间时，S=5t-25；（4）t=1.

【解析】

（1）由菱形的性质得，∠ACD=∠ACB，CD=CB，根据“SAS”证明△DCM≌△BCM，然后根据全等三角形的性质可得DM=BM；

（2）根据勾股定理即可得到结论；

（3）由△BCM≌△DCM计算出BM=DM，分两种情况计算即可；

（4）由菱形的性质判断出△ADM≌△ABM，再判断出△BMP是等腰三角形，即可．

【解析】
（1）在Rt△ADH中，AD=10，AH=6，

∴DH=8，

∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD=∠ACB，CD=CB，

在△DCM和△BCM中，

，

∴△DCM≌△BCM（SAS），

∴DM=BM，

（2）在Rt△BHM中，BM=DM，HM=DH-DM=8-DM，BH=AB-AH=4，

根据勾股定理得，DM2-MH2=BH2，

即：DM2-（8-DM）2=16，

∴DM=5，

∴MH=3；

（3）在△BCM和△DCM中，

，

∴△BCM≌△DCM（SAS），

∴BM=DM=5，∠CDM=∠CBM=90°

①当P在AB之间时，S=（10-2t）×3=-3t+15；

②当P在BC之间时，S=（2t-10）×5=5t-25；

（4）存在，

∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，

∴∠ADM+∠BCD=90°，

∵∠MPB+∠BCD=90°，

∴∠MPB=∠ADM，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠DAM=∠BAM，

∵AM=AM，

∴△ADM≌△ABM（SAS），

∴∠ADM=∠ABM，

∴∠MPB=∠ABM，

∵MH⊥AB，

∴PH=BH=4，

∴BP=2BH=8，

∵AB=10，

∴AP=2，

∴t==1