Question

已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．

（1）求证：四边形AODE是矩形；

（2）若AB=4，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．

Answer

（1）详见解析；（2）矩形AODE面积为

【解析】

（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形；

（2）证明△ABC是等边三角形，得出OA=×4=2，由勾股定理得出OB=2，由菱形的性质得出OD=OB=2，即可求出四边形AODE的面积．

（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，

∴平行四边形AODE是矩形，

故四边形AODE是矩形；

（2）【解析】
∵∠BCD=120°，AB∥CD，

∴∠ABC=180°-120°=60°，

∵AB=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴OA=×4=2，

∵在菱形ABCD中，AC⊥BD

∴由勾股定理OB==2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OD=OB=2，

∴四边形AODE的面积=OA•OD=2=4．