Question

阅读下列材料，解答后面的问题：

材料：求代数式x²－2x＋5的最小值．

小明同学的解答过程：x²－2x＋5＝x²－2x＋1－1＋5＝(x－1)²＋4

我们把这种解决问题的方法叫做“配方法”．

(1)请按照小明的解题思路，写出完整的解答过程；

(2)请运用“配方法”解决问题：

①若x²＋y²－6x＋10y＋34＝0，求y－x的立方根；

②分解因式：4x⁴＋1．

Answer

(1)4；(2)①-2；②(2x2＋2x＋1)(2x2－2x＋1)．

【解析】

(1)根据配方法的结果，得到即可求出代数式x2－2x＋5的最小值.

(2) ①将x2＋y2－6x＋10y＋34＝0，变形为(x－3)2＋(y＋5)2＝0，根据非负数的性质得到x－3＝0且y＋5＝0，求出的值，进而求解.

②将4x4＋1加上4x2再减去4x2，即4x4＋1＝4x4＋4x2＋1－4x2＝(2x2＋1)2－(2x)2，用平方差公式进行因式分解即可.

【解析】
(1) x2－2x＋5＝x2－2x＋1－1＋5＝(x－1)2＋4，

代数式x2－2x＋5的最小值是4；

(2)①∵x2＋y2－6x＋10y＋34＝0，

∴x2－6x＋9＋y2＋10y＋25＝0，即(x－3)2＋(y＋5)2＝0，

∵(x－3)2≥0，(y＋5)2≥0，

∴x－3＝0且y＋5＝0，即x＝3，y＝－5，

∴y－x＝－5－3＝－8，

∴y－x的立方根是；

②4x4＋1＝4x4＋4x2＋1－4x2＝(2x2＋1)2－(2x)2

＝(2x2＋2x＋1)(2x2－2x＋1)．