Question

如图，直线l为y=x，过点A₁（1，0）作A₁B₁⊥x轴，与直线l交于点B₁，以原点O为圆心，OB₁长为半径画圆弧交x轴于点A₂；再作A₂B₂⊥x轴，交直线l于点B₂，以原点O为圆心，OB₂长为半径画圆弧交x轴于点A₃…，按此作法进行下去，则的长为______（用含n，π的式子表示）．

Answer

【解析】

依据直线l为，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n-1，0），可得OBn-1的长，由弧长公式可求解．

∵直线l为，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，

∴当x=1时，y=，

即B1（1，），

∴tan∠A1OB1=，

∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，

∴OB1=2OA1=2，

∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，

∴A2（2，0），

同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，

∴点An的坐标为（2n-1，0），

∴OAn=2n-1，

∴OBn-1=2×2n-1=2n，

∴弧=

故答案为：