Question

如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）求DE的长．

Answer

(1)详见解析；（2）4.

【解析】

试题（1）连结OD，由AD平分∠BAC,OA=OD，可证得∠ODA=∠DAE,由平行线的性质可得OD∥AE,再由DE⊥AC即可得OE⊥DE，即DE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥AC于点F，由垂径定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四边形OFED是矩形，即可得DE=OF=4.

试题解析：

（1）连结OD，

∵AD平分∠BAC,

∴∠DAE=∠DAB，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠DAO,

∴∠ODA=∠DAE,

∴OD∥AE,

∵DE⊥AC

∴OE⊥DE

∴DE是⊙O的切线；

（2）过点O作OF⊥AC于点F，

∴AF=CF=3，

∴OF=,

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，

∴四边形OFED是矩形，

∴DE=OF=4.