Question

（问题提出）

如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围.

（1）（问题解决）

解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线的取值范围.

（2）（应用）

如图②，在中，为的中点，已知，，，求的长.

（3）（拓展）

如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连接。已知，，求的长.

Answer

（1）；（2） ；（3）.

【解析】

（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可；

（2）同（1）可证△ADC≌△EDB，可得△ABE的三边长，利用勾股定理的逆定理得出△ABE为直角三角形，然后在Rt△BED中利用勾股定理求出BD的长，进而得出BC的长；

（3）延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG．由△EBD≌△GCD可得∠B=∠GCD、BE=CG=4，根据∠A=90°知∠GCF=90°，利用勾股定理求得FG的长，最后由中垂线性质即可得EF=FG．

（1）【解析】
延长AD到E，使AD=DE，连接BE，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=CD，

在△ADC与△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴EB=AC，

根据三角形的三边关系得：AB-AC＜AE＜AC+AB，

∴2＜AE＜10，

∵AE=2AD，

∴,1＜AD＜5，

即：BC边上的中线AD的取值范围1＜AD＜5；

（2）

延长AD至E，使DE=AD，连接BE．

∵点D为边BC的中点，

∴BD=CD.

∵∠BDE=∠ADC,

∴△ADC≌△EDB.

∴BE=AC=3,DE=AD=2.

∴AE=4.

∵AB=5，且,

∴.

∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°.

∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，

∴BD=，

∴BC=2BD=；

（3）

延长ED到点G，使DG=ED，连接CG，FG．

同前法可得△EBD≌△GCD，

∴∠B=∠GCD，BE=CG=4，

又∵∠A=90°，

∴∠B+∠BCA=90°，

∴∠GCD+∠BCA=90°，即∠GCF=90°，

∵CG=4，CF=5，

∴FG===．

∴EF= FG =.