Question

如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动。当点不与点、重合时，在边上取一点，满足，过点作，交边于点，以、为边做矩形.设点的运动时间为秒.

（1）用含的代数式表示线段的长;

（2）当矩形为正方形时，求的值;

（3）设矩形与重叠部分图形的周长为，求与之间的函数关系式;

（4）作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点.当、这两点中只有一个点在矩形内部时，直接写出此时的取值范围.

Answer

（1）当时，，当时，；（2）当矩形为正方形时，的值为；（3）当时，，当时， ；（4）或.

【解析】

（1）当点P在AC上时，延长AC至点D，使得CD=AC，易得∠ABD=2∠ABC=∠PQA，可得PQ∥DB，得△APQ∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例列出等式变形即可得出结论；

当点P在CB上时，过点Q作QE⊥BC，由∠PQA=2∠B和三角形外角的性质可得△QPB为等腰三角形，根据“三线合一”可得BE=BP=(7-t)，然后由△BQE∽△BAC列出比例式即可得出结论；

（2）当点P在AC上时，过P作QG⊥AC，QH⊥BC，由（1）可得△AQP是等腰三角形，可得GP=t，根据矩形的判定得四边形GQHC为矩形，得出QH=GC=3-t，根据圆内接四边形的对角互补和等腰三角形的性质得出∠A=∠QMH，进而可得△QHM∽△BCA，根据相似三角形的性质列出比例式求出QM，令QM=PQ即可求出t；当P在BC上时，不能构成正方形，综上即可得出结论；

（3）当点P在AC上时，易得∠CPK=∠KMN=∠B，利用三角函数可求得PK，MK的值，然后代入计算PQ+QM+MK+PK即可；

当点P在BC上时，由（1）可得∠QPM=∠B，在Rt△QPM中，利用三角函数可求得QM，PM的长，然后代入计算即可；

（4）当点P在AC上时，过点A作AD⊥PQ，过点C作CE⊥PN，分点A′在矩形PQMN内部、点C′不在矩形PQMN内部和点A′不在矩形PQMN内部、点C′在矩形PQMN内部，即和两种情况求出t的范围；当点P在BC上时，显然点A′和点C′都在矩形PQMN外部．

【解析】
（1）当点P在AC上时，即0＜t≤3时，延长AC至点D，使得CD=AC，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，

∴AB=5．

在△ABC和△DBC中，

，

∴△ABC≌△DBC（SAS），

∴AC=CD=3，AB=CD=5，∠ABC=∠DBC．

∵∠PQA=2∠ABC，

∴∠PQA=∠ABD，

∴PQ∥BD，

∴△APQ∽△ADB，

∴，

即，

得PQ=；

当点P在CB上时，即3＜t＜7时，

过点Q作QE⊥BC于点E，

∵∠PQA=∠B+∠QPB，∠PQA=2∠B，

∴∠QPB=∠B，

∴PQ=QB，

∴BE=PB= (7-t)，

∵∠C=90°，

∴QE∥AC，

∴，

即，

解得：QB=，

∴PQ=；

综上，当时，，当时，.

（2）当时，如图①，

过点作QG⊥AC于点G，于点.

由（1）可得AQ=PQ，

∴∠A=∠APQ，AG=GP=AP=t，

∴CG=AC-AG=3-t．

∵∠QGC=∠C=∠QHC=90°，

∴四边形QGCH为矩形，

∴QH=CG=3-t．

∵∠C=∠PQM=90°，

∴∠APQ=∠QMH，

∴∠A=∠QMH，

∵∠QHM=∠C=90°，

∴△QHM∽△BCA，

∴，

即，

∴.

当矩形为正方形时，

.

解得.

当时，矩形不可能为正方形.

∴当矩形为正方形时，的值为.

（3）当时，如图②，

由（1）可得∠CPK=∠KMN=∠B，

在Rt△PCK中，

PK===，

在Rt△KNM中，

MK==，

.

当时，如图③，

由（1）可得∠QPM=∠B，

在Rt△QPM中，

QM=PQtan∠QPM=，

PM===，

.

（4）当点P在AC上时，0＜t＜3，

过点A作AD⊥PQ于点D，过点C作CE⊥PN于点E，如图所示：

由（1）得∠APQ=∠PCE=∠BAC，

在Rt△ADP中，AD=APsin∠APQ=，

在Rt△PCE中，CE=CPcos∠PCE=．

当点A′在矩形PQMN内部、点C′不在矩形PQMN内部时，

，

即，

解得：t≤，

故0＜t≤；

当点A′不在矩形PQMN内部、点C′在矩形PQMN内部时，

，

即，

解得：t≥，

故≤t＜3．

当点P在BC上时，显然点A′和点C′都在矩形PQMN外部．

故或.