Question

有两个函数和，若对于每个使函数有意义的实数，函数的值为两个函数值中中较小的数，则称函数为这两个函数、的较小值函数。例如：，，则、的较小值函数

（1）函数是函数，的较小值函数;

①在如图的平面直角坐标系中画出函数的图像.

②写出函数的两条性质.

（2）函数是函数，的较小值函数，当时，函数值的取值范围为.当取某个范围内的任意值时，为定值.直接写出满足条件的的取值范围及其对应的值.

（3）函数是函数，（为常数，且）的较小值函数，当时，随着的增大，函数值先增大后减小，直接写出的取值范围.

Answer

（1）①答案如图见解析；②答案不唯一，例如：当时，函数有最大值；在每个象限内，随着的增大，先增大后减小；（2）当时，；当时，；（3）或.

【解析】

（1）①分别画出两个函数，的图象，然后求出交点坐标，结合图象，两个函数图象中下方的部分保留，上方部分去掉即可的出函数y的图象．

②结合图象针对函数的增减性和最值等写出两条性质即可．

（2）画出函数y的图象，计算出当x=时y=，根据对称性可知当x=时y=，然后结合图象即可得出a的范围和相应的b的值；

（3）结合函数的图象，分m＞0和m＜0两种情况进行讨论即可．

（1）①答案如图.

②答案不唯一，例如：当时，函数有最大值；在每个象限内，随着的增大，先增大后减小；

（2）画出函数图象，如图所示：

当x=时y=，根据对称性可知当x=时y=，

结合图象可知：当时，；当时，.

（3）当m＞0时，画出函数y的图象如图所示：

由图可知随着x的增大，函数值y先增大后减小时，

，

解得：1≤m＜6；

当m＜0时，函数y的图像如图所示：

由图可知随着x的增大，函数值y先增大后减小时，

，

解得：m≤-3．

综上，或.