Question

（探究）（1）观察下列算式，并完成填空：

；

；

；

；

……

.（是正整数）

（2）某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖，从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推.

①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖；

②第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）.

（应用）

该市打算在一个新建广场中央，也采用这个样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和420块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺多少层？请说明理由.

Answer

【探究】:（1）n2；（2）① 6，30；② 6(2n﹣1) 或12n﹣6；【应用】：铺设这样的图案，最多能铺8层，见解析.

【解析】

[探究]（1）观察算式规律，1+3+5++（2n-1）=n2；

（2）①第一层6块正方形和6块正三角形地板砖，第二层6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，第三层6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖；

②第一层6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖，第二层18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖，第三层30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖，第n层6=6×1=6（2n-1）块正三角形地板砖，

[应用]

150块正方形地板砖可以铺设这样的图案150÷6=25（层），铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5++（2n-1）]=6n2，6n2=420，n2=70，n=，8＜n＜9，所以420块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案8层．因此铺设这样的图案，最多能铺8层．

[探究]

（1）观察算式规律，1+3+5++（2n-1）=n2，

故答案为n2；

(2)①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，

第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，

∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖，

故答案为6，30；

②∵第一层6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖，

第二层18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖，第三层30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖，

∴第n层6=6×1=6（2n-1）块正三角形地板砖，

故答案为6（2n-1）或12n-6．

[应用]

铺设这样的图案，最多能铺8层．

∵，∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；

∵铺设n层需要正三角形地板砖的数量为：6[1+3+5++（2n﹣1）]=6n2，

∴6n2=420，n2=70，．

又∵，即，

∴420块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案8层．

∴铺设这样的图案，最多能铺8层．