Question

如图，在中，，，以点为圆心、2为半径画圆，点是上任意一点，连接，.将绕点按顺时针方向旋转，交于点，连接

（1）当与相切时，

①求证：是的切线；

②求点到的距离.

（2）连接，，当的面积最大时，点到的距离为              .

Answer

（1）①见解析，②点C到OB的距离是；（2）.

【解析】

（1）①先证明△BOC≌△AOD，则∠BCO=∠ADO=90°，BC是⊙O的切线；

②过点C作CE⊥OB，根据勾股定理得BC=2，由△BCO的面积公式可得OB•CE=BC•OC，求得CE=；

（2）当点C在⊙O上运动到△BCD是等腰三角形，且BO的延长线与CD垂直位置时，△BCD的面积最大（如图2），由等腰直角三角形的性质可求得OF=，则点B到CD的距离为4+．

（1）①证明：∵AD与⊙O相切，∴∠ADO=90°．

∵∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOB－∠AOC=∠COD－∠AOC，即∠COB=∠AOD，

∵OB=OA，OC=OD，

∴△BOC≌△AOD．

∴∠BCO=∠ADO=90°．

∴BC是⊙O的切线．

②过点C作CE⊥OB，垂足为E，则CE即为点C到OB的距离．

在Rt△BOC中，∵OB=4，OC=2，

∴，

∴OB▪CE=BC▪OC，即4CE=2，CE=．

∴点C到OB的距离是．

（2）当点C在⊙O上运动到△BCD是等腰三角形，且BO的延长线与CD垂直位置时，

△BCD的面积最大（如图2），此时OB=4，OC=OD=2，

∵△COD是等腰直角三角形，

∴OF＝OC•sin45°＝2×＝，

∴BF＝4+．