Question

如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图像交于点，过作轴于点，且，点在反比例函数的图象上.

（1）求的值；

（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的值最小，求点的坐标；

（3）点关于轴的对称点为，把向右平移个单位到的位置，当取得最小值时，请你在横线上直接写出的值，           .

Answer

（1）k = 4；（2）P的坐标为（，0）；（3）4.75．

【解析】

（1）运用平行线分线段成比例定理可得M点坐标，就可求k的值；

（2）找出N点的对称点N′，连接MN′与x轴交点就是点P；

（3）过点N′作x轴的平行线，取A关于这条平行线的对称点A′，连接A′B的直线经过N′，可求m的值．

（1）把x=0代y=2x+2，得：y=2×0+2=2．∴点B（0，2），即BO=2，

∵BO∥MH，AB=BM，，

∴MH=2BO=4，

∵点M在y=2x+2上，

4+2x+2，x=1，

∴点M的坐标为（1，4），

∵M在反比例函y=（x＞0）的图象上，

4=，k=4．

（2）如图所示，过点N作关于x轴的对称点N′，连接M N′，交x轴的正半轴于点P，则点P即为所求，此时PM+PN的值最小．

∵点N（a，1）是反比例函y=（x＞0）图象上的点，1=，a=4，

∴点N′的坐标为（4，-1），

设直线M N′的函数表达式y=kx+b，

解得

∴y=−x+，

∴当y=0时，x=，即点P的坐标为（，0）．

（3）过点N′作x轴的平行线，取A关于这条平行线的对称点A′，连接A′B的直线经过N′

设A′B的解析式为：y=kx+b，

代入平移后的B（m，2）、A′（m-1，-2）

y=4x+2-4m

把N′（4，-1）代入，

解得：m=4.75．

故答案为：4.75．