Question

如图，在正方形中，，分别为，的中点，连接，，交点为. 若正方形的边长为.

（1）求证：；

（2）将沿对折，得到（如图），延长交的延长线于点，求的长；

（3）将绕点逆时针方向旋转，使边正好落在上，得到（如图），若和相交于点，求四边形面积.

Answer

（1）详见解析；（2）1；（3）四边形的面积是．

【解析】

（1）运用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证；
（2）△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系证明QF=QB，在Rt△QPB中，利用勾股定理即可解决问题．
（3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得S△AGN=，再利用S四边形GHMN=S△AHM-S△AGN求解．

【解析】
（1）证明：如图，

∵分别是正方形边的中点，

∴，

在和中，

，

∴，

，

又∵，

∴，

∴，

∴.

（2）【解析】
如图，根据题意得，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

在中，设，

∴，

∴，

∴．

（3）【解析】
∵正方形边长为，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴

∴

∴

∴，

∴，

∴四边形的面积是．