Question

已知：如图，直线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，线段的长是方程的一个根，请解答下列问题：

（1）求点的坐标；

（2）双曲线与直线交于点，且，求的值；

（3）在（2）的条件下，点在线段上，，直线轴，垂足为，点在直线上，在直线上的坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）；（2）10；（3）或

【解析】

（1）解方程x2-7x-8=0得：x=8，或x=-1，得出OA=8，A（-8，0），代入y=x+b求出b=4，即可得出B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理求出AB= ，过点C作CH⊥x轴于H，则CH∥OB，由平行线得出△AOB∽△AHC，得出，求出CH=5，AH=10，得出OH=2，C（2，5），代入双曲线得出k=10即可；
（3）先求出点E的坐标，再分三种情况讨论计算即可得出结论．

【解析】
(1)解方程得或.

∵线段的长是方程的一个根，

∵的长是正数

∴，

∴．

将代入，得，

∴，

∴．·

（2）在中，，

∴.

如图，过点作轴于点，则，

∴

∴ 即

解得，

∴，

∴．

∵双曲线（）经过点，

∴·

（3）存在

①当为以点为顶点的矩形的一边时，过点作轴于点，作交直线于点，如图所示，

∴，

∴

∴

∴，

∴，

∴．

∵，

∴设直线的函数表达式为，

把代入，得，

解得，

∴直线的函数表达式为

当时，，

∴，

∴．（注：也可以用三角形相似求解 ∴如图3

图3

∵

∴点的坐标为；（点的平移）

当为以点为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点的坐标为；

②当为以点为顶点的矩形的对角线时，点在直线的下方，不符合题意。

∴满足条件的的坐标为或；