Question

如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求PQ的长；

（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

Answer

（1）；（2）t=；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．

【解析】

试题（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）设出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=，BP=，列式求得即可；

（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得；

②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12，易求得；

③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出．

试题解析：（1）BQ=2×2=4cm，BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，∵∠B=90°，

PQ=；

（2）BQ=，BP=，，解得：；

（3）①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ=AQ，∴CQ=AQ=5，∴BC+CQ=11，∴=11÷2=5.5秒．

②当CQ=BC时（如图2），则BC+CQ=12，∴=12÷2=6秒．

③当BC=BQ时（如图3），过B点作BE⊥AC于点E，则BE=，所以CE=，故CQ=2CE=7.2，所以BC+CQ=13.2，∴=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．