Question

平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y₁=（x＞0）与y₂=（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．

（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；

（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b0，求ab的值；

（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y₁=（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

Answer

（1）S△OAB=4；（2）ab=﹣4；（3）见解析.

【解析】

（1）如图1，AB交y轴于C，由于AB∥x轴，根据k的几何意义得到S△OAC＝2，S△OBC＝2，所以S△OAB＝S△OAC+S△OBC＝4；

（2）根据函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为，根据两点间的距离公式得到，则利用等腰三角形的性质得到a2+（）2＝b2+（﹣）2，变形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）＝0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣＝0，易得ab＝﹣4；

（3）由于a≥4，AC＝3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1＝（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1＝（x＞0）的图象交点为F，由于A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，则得到C点坐标为（a﹣3，），F点的坐标为（a﹣3，），所以FC＝，然后比较FC与3的大小，由于3﹣FC＝3﹣，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判断点F在线段DC上．

【解析】
（1）如图，AB交y轴于P，

∵AB∥x轴，

∴S△OAC=×|4|=2，S△OBC=×|﹣4|=2，

∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=4；

（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，

∴OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，

∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，

∴OA=OB，

∴a2+（）2=b2+（﹣）2

∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）=0，

∵a+b≠0，a＞0，b＜0，

∴1﹣=0，

∴ab=﹣4

（3）∵a≥4，而AC=3，

∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1=（x＞0）的图象一定有交点，

设直线CD与函数y1=（x＞0）的图象交点为F，如图，

∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，

∴C点坐标为（a﹣3，），

∴F点的坐标为（a﹣3，），

∴FC=﹣

∵3﹣FC=3﹣，

而a≥4，

∴3﹣FC≥0，即FC≤3，

∵CD=3，

∴点F在线段DC上，

即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数y1=（x＞0）的图象都有交点