Question

如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作α；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：

（1）探究：若R＝2，m＝1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是　   　；如图2，当α＝　   　°时，半圆O与射线AB相切；

（2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由．

（3）发现：如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα＝　   　（用含有R、m的代数式表示）

（4）拓展：如图5，若R＝m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是　   　，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示）

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Answer

（1） +1；60°；（2）4+2；（3） ；（4） m2．

【解析】

试题（1）如图1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．则四边形AMFE是矩形，EF=AM=1．如图2中，设切点为F，连接O′F，作O′E⊥OA于E，则四边形O′EAF是矩形，在Rt△O′EM中，由sinα=，推出α=60°．
（2）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．列出方程即可解决问题．
（3）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．列出方程即可解决问题、
（4）当半圆与射线AB相切时，之后开始出现两个交点，此时α=90°；当N′落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，此时∵MN′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是：90°＜α≤120°．当N′落在AB上时，阴影部分面积最大，求出此时的面积即可．

试题解析：（1）如图1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．则四边形AMFE是矩形，EF=AM=1．想办法求出O′E的长即可．

在Rt△MFO′中，∵∠MOF=30°，MO′=2，

∴O′F=O′M•cos30°=，O′E=+1，

∴点O′到AB的距离为+1．

如图2中，设切点为F，连接O′F，作O′E⊥OA于E，则四边形O′EAF是矩形，

∴AE=O′F=2，

∵AM=1，

∴EM=1，

在Rt△O′EM中，sinα= ，

∴α=60°

故答案为 +1，60°．

（2）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．

∵O′P=R，

∴R= R+1，

∴R=4+2．

（3）设切点为P，连接O′P，作MQ⊥O′P，则四边形APQM是矩形．

在Rt△O′QM中，O′Q=R•cosα，QP=m，

∵O′P=R，

∴R•cosα+m=R，

∴cosα=．

故答案为．

（4）如图5中，

当半圆与射线AB相切时，之后开始出现两个交点，此时α=90°；当N′落在AB上时，为半圆与AB有两个交点的最后时刻，此时∵MN′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是：90°＜α≤120°

故答案为90°＜α≤120°；

当N′落在AB上时，阴影部分面积最大，

所以S═ ﹣• m• m= m2．