Question

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一个动点，以B点为旋转中心把线段BP逆时针旋转45°得到BP′，连接DP′，则DP′的最小值是（　　）

A. 2-2 B. 4﹣2 C. 2﹣ D. -1

Answer

A

【解析】

在BC上截取BE＝BD，根据等腰直角三角形的性质求得BA和BE，再由旋转的性质证明△BDP'≌△BEP，从而可得到PE＝P'D，再由等腰直角三角形的性质求得PE，从而求得DP′的最小值.

【解析】
如图，在BC上截取BE＝BD，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， CD⊥AB，

∴BA＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝2＝BE，

∵旋转

∴BP＝BP'，∠PBP'＝45°，

∵BE＝BD，∠ABC＝∠PBP'＝45°，BP＝BP'

∴△BDP'≌△BEP（SAS）

∴PE＝P'D

∴当PE⊥CD时，PE有最小值，即DP'有最小值，

∵PE⊥CD，∠BCD＝45°，

∴CE＝PE＝BC﹣BE＝4﹣2

∴P'D =PE＝2﹣2

故选：A．