Question

某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y=-x+26．

（1）求这种产品第一年的利润W₁（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；

（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润W₂至少为多少万元．

Answer

（1）W=-x2+32x-236；（2）该产品第一年的售价是16元；（3）该公司第二年的利润W2至少为88万元．

【解析】

（1）根据总利润=每件利润×销售量-投资成本，列出式子即可；

（2）构建方程即可解决问题；

（3）根据题意求出自变量的取值范围，再利用二次函数的性质即可解决问题.

（1）W1=（x-6）（-x+26）-80=-x2+32x-236．

（2）由题意：20=-x2+32x-236．

解得：x=16，

答：该产品第一年的售价是16元．

（3）∵公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．

∴14≤x≤16，

W2=（x-5）（-x+26）-20=-x2+31x-150，

∵抛物线的对称轴为x=15.5，又14≤x≤16，

∴x=14时，W2有最小值，最小值=88（万元），

答：该公司第二年的利润W2至少为88万元．