Question

（1）阅读理解

利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点是等边三角形内一点，，，.求的度数.

为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转得，连接，则的长为_______；在中，易证，且的度数为________，综上可得的度数为_______；

（2）类比迁移

如图，点是等腰内的一点，，，，.求的度数；

（3）拓展应用

如图，在四边形中，，，，，请直接写出的长.

Answer

（1）2, 30°，90°；（2）90°；（3）2.

【解析】

（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，继而可得答案．

（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是等腰直角三角形，所以∠APC=90°；

（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．

（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．

由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；

∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，

在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2；

∴△AP′P是直角三角形；

∴∠P′AP=90°．

∵PA=PC，

∴∠AP′P=30°；

∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．

（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．

由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；

∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=，

在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=4=AP2；

∴△AP′P是等腰直角三角形；

∴∠AP′P=90°．

∴∠APP'=45°

∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°

（3）如图3，

∵AB=AC，

将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，

∵∠BAD=∠CAG，

∴∠BAC=∠DAG，

∵AB=AC，AD=AG，

∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD=2AB，

∴DG=2BC=10，

过A作AE⊥BC于E，

∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC=90°，

∴∠GDC=90°，

∴CG=，

∴BD=CG=2．