Question

如图，正方形ABCD的边长是2，点E是CD边的中点，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把∠C沿直线EF折叠，使点C落在点C′处．当△ADC′为等腰三角形时，FC的长为_____.

Answer

或1.

【解析】

首先证明DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可：①如图1中，当AD=AC′=2时，连接AE．构建方程即可；②如图2中，当点F在BC中点时，易证AC′=DC′，满足条件.

由题意DE=EC=EC′=1，

∴DC′＜1+1

∴DC′≠DA，只要分两种情形讨论即可：

①如图1中，当AD=AC′=2时，连接AE．

∵AE=AE，AD=AC′，DE=EC′，

∴△ADE≌△AC′E，

∴∠ADE=∠AC′E=90°，

∵∠C=∠FC′E=90°，

∴∠AC′E+∠FC′E=180°，

∴A、C′、F共线，设CF=x，则BF=2-x，AF=2+x，

在Rt△ABF中，22+（2-x）2=（2+x）2，

解得x=．

②如图2中，当点F在BC中点时，易证AC′=DC′，满足条件，此时CF=1．

综上所述，满足条件的CF的长为或1．

故答案为：或1．