Question

（1）阅读理解:利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法。如图，点是等边三角形内一点，，求的度数。为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转60°得，连接，则的长为_______；在中，易证，且的度数为_____，综上可得的度数为__       ；

（2）类比迁移:如图，点是等腰内的一点，。求的度数；

（3）拓展应用:如图，在四边形中，，请直接写出的长。

Answer

（1）2， 30°， 90° ；（2）90°；（3）2．

【解析】

（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，继而可得答案．
（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形，所以∠APC=90°；
（3）如图3，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．

【解析】
（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．
由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；
∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，
在△AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（）2=4=PP′2；
∴△AP′P是直角三角形；
∴∠P′AP=90°．
∵PA=PC，
∴∠AP′P=30°；
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．
故答案为：2；30°；90°；
（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．

由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；
∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=，PB=AP'=，
在△AP′P中，∵AP'2+P′P2=（）2+（）2=2=AP2；
∴△AP′P是直角三角形；
∴∠AP′P=90°．
∴∠APP'=45°
∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
（3）如图3，

∵AB=AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，
∵∠BAD=∠CAG，
∴∠BAC=∠DAG，
∵AB=AC，AD=AG，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD=2AB，
∴DG=2BC=10，
过A作AE⊥BC于E，
∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC=90°，
∴∠GDC=90°，
∴CG===2，
∴BD=CG=2．