Question

如图，抛物线y=ax²+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B（-3，0）和点C（1，0），顶点为点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E为x轴上一动点，若△AME的周长最小，请求出点E的坐标；

（3）点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若△BFP为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer

（1） ；（2）E（-，0）；（3）点P的坐标为（2，-5）或（1，0）．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；

（2）作A关于x轴的对称点A′（0，-3），连接MA′交x轴于E，此时△AME的周长最小，求出直线MA'解析式即可求得E的坐标；

（3）如图2，先求直线AB的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点F的坐标为（m，m+3），

分三种情况进行讨论：

①当∠PBF=90°时，由F1P⊥x轴，得P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式可得结论；

②当∠BF3P=90°时，如图3，点P与C重合，

③当∠BPF4=90°时，如图3，点P与C重合，

从而得结论．

（1）当x=0时，y=3，即A（0，3），

设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），

把A（0，3）代入得：3=-3a，

a=-1，

∴y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，

即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴M（-1，4），

如图1，作点A（0，3）关于x轴的对称点A'（0，-3），连接A'M交x轴于点E，则点E就是使得△AME的周长最小的点，

设直线A′M的解析式为：y=kx+b，

把A'（0，-3）和M（-1，4）代入得：

，

解得：

∴直线A'M的解析式为：y=-7x-3，

当y=0时，-7x-3=0，

x=-，

∴点E（-，0），

（3）如图2，易得直线AB的解析式为：y=x+3，

设点F的坐标为（m，m+3），

①当∠PBF=90°时，过点B作BP⊥AB，交抛物线于点P，此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个，即△BPF1和△BPF2，

∵OA=OB=3，

∴△AOB和△A'OB是等腰直角三角形，

∴∠F1BC=∠BF1P=45°，

∴F1P⊥x轴，

∴P（m，-m-3），

把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：

-m-3=-m2-2m+3，

解得：m1=2，m2=-3（舍），

∴P（2，-5）；

②当∠BF3P=90°时，如图3，

∵∠F3BP=45°，且∠F3BO=45°，

∴点P与C重合，

故P（1，0），

③当∠BPF4=90°时，如图3，

∵∠F4BP=45°，且∠F4BO=45°，

∴点P与C重合，

故P（1，0），

综上所述，点P的坐标为（2，-5）或（1，0）．