Question

如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；

（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

Answer

（1）证明见解析（2）1：4（3）成立．

【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，

∵△AED是等边三角形，

∴AD=AE，∠ADE=60°，

∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°，

∵ED∥CF，

∴∠FCB=∠EDB=30°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°，

∴∠ACF=∠BAD=30°，

在△ABD和△CAF中，

，

∴△ABD≌△CAF（ASA），

∴AD=CF，

∵AD=ED，

∴ED=CF，

又∵ED∥CF，

∴四边形EDCF是平行四边形，

∴EF=CD．

（2）△AEF和△ABC的面积比为：1：4

（3）成立．

理由如下：∵ED∥FC，

∴∠EDB=∠FCB，

∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB

∴∠AFC=∠BDA，

在△ABD和△CAF中，

∴△ABD≌△CAF（AAS），

∴AD=FC，

∵AD=ED，

∴ED=CF，

又∵ED∥CF，

∴四边形EDCF是平行四边形，

∴EF=DC．