Question

已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），且过点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的表达式．

（2）请写出一种平移的方法，使这条抛物线平移后的顶点落在直线y＝﹣x上，并写出平移后的抛物线表达式．

Answer

（1）y＝﹣x2+4x﹣3;（2）向下平移3个单位．平移之后的函数解析式为y=﹣x2+4x﹣6.

【解析】

（1）根据抛物线与x轴的交点坐标可设抛物线的表达式为y=a（x-1）（x-3），根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出a值，此题得解；
（2）根据抛物线的表达式利用二次函数的性质可得出抛物线的顶点坐标，将抛物线顶点横坐标代入一次函数表达式中求出y值，由此即可得出平移的方向及长度．

（1）∵抛物线过点A（1，0）和点B（3，0），

∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），

将C（0，﹣3）代入得：3a＝﹣3，

∴a＝﹣1，

∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3．

（2）∵抛物线表达式为y＝﹣x2+4x﹣3，

∴抛物线的顶点坐标为（2，1）．

当x＝2时，y＝﹣x＝﹣2，

∴将抛物线向下平移3个单位可使顶点落在直线y＝﹣x上．

平移之后的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3-3

即y=﹣x2+4x﹣6.