Question

如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）试证明EG²＝GF•AF．

Answer

（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系．

（1）证明：∵GE∥DF，

∴∠EGF＝∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，

∴∠DGF＝∠DFG．

∴GD＝DF．

∴DG＝GE＝DF＝EF．

∴四边形EFDG为菱形．

（2）【解析】
如图所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．

∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2＝FO•AF．

∵FO＝GF，DF＝EG，

∴EG2＝GF•AF．