Question

如图，B（2m，0）、C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB＝2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y＝ax²+bx+n（a≠0）过E、A′两点．

（1）填空：∠AOB＝　   　°，用m表示点A′的坐标：A′　   　；

（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；

（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为M，过M作MN垂直y轴，垂足为N：

①求a、b、m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为5，请你探究a的取值范围．

Answer

（1）45；(m，﹣m)；（2）△D′OE∽△ABC，理由见解析；（3）①b＝﹣1﹣am；②≤a≤2．

【解析】

（1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC-OB表示出BC的长，由题意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即可确定出A′坐标；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由，表示出P坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证；
（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y=ax2+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式；
②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为5，求出此时a的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围．

【解析】
（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即BC＝m，

∵AB＝2BC，

∴AB＝2m＝0B，

∵∠ABO＝90°，

∴△ABO为等腰直角三角形，

∴∠AOB＝45°，

由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即A′（m，﹣m）；

故答案为：45；（m，﹣m）；

（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：

由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），

∵，

∴P（2m，m），

∵A′为抛物线的顶点，

∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2﹣m，

∵抛物线过点E（0，n），

∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即m＝2n，

∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，

∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，

∴△D′OE∽△ABC；

（3）①当点E与点O重合时，E（0，0），

∵抛物线y＝ax2+bx+n过点E，A′，

∴ ，

整理得：am+b＝﹣1，即b＝﹣1﹣am；

②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，

∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，

若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为5，

∴a（3m）2﹣（1+am）•3m＝0，

整理得：am＝，即抛物线解析式为y＝，

由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y＝x，

联立抛物线与直线OA解析式得： ，

解得：x＝5m，y＝5m，即M（5m，5m），

令5m＝5，即m＝1，

当m＝1时，a＝；

若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m＝2m，

解得：am＝2，

∵m＝1，

∴a＝2，

则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤2．