Question

如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．

（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；

（2）若 ，求AE的长；

（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值.

Answer

（1）；（2）；（3） ，，.

【解析】

（1）作EH⊥AB，连接OE，EB，设DH＝a，则HB＝2﹣a，OH＝2+a，则EH＝OH＝2+a，根据Rt△AEB中，EH2＝AH•BH，即可求出a的值，即可求出S△ADE的值；

（2）作DF⊥AE，垂足为F，连接BE，设EF＝2x，DF＝3x，根据DF∥BE故，得出AF＝6x，再利用Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2，即可求出x，进而求出AE的长；

（3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值.

【解析】
（1）如图，作EH⊥AB，连接OE，EB，

设DH＝a，则HB＝2﹣a，OH＝2+a，

∵点E是弧BC中点，

∴∠COE＝∠EOH＝45°，

∴EH＝OH＝2+a，

在Rt△AEB中，EH2＝AH•BH，

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a），

解得a＝，

∴a＝，

EH=，

S△ADE＝;

（2）如图，作DF⊥AE，垂足为F，连接BE

设EF＝2x，DF＝3x

∵DF∥BE

∴

∴=3

∴AF＝6x

在Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2

（6x）2+（3x）2＝（6）2

解得x＝

AE＝8x＝

（3）当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图

设DH＝a

由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH，

∴∠DFO=∠EDH

∴△ODF≌△HED

∴OD＝EH＝2

在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH

（2）2＝（6+a）•（2﹣a）

解得a＝±

m＝

当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图

同理得△EFG≌△DEH

设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a

在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝

∴m＝

当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图

同理得△EFM≌△FDO

设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2

∴EH＝a+2

在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH

（a+2）2＝（4+a）•（4﹣a）

解得a＝±

m＝