Question

如图，将一副直角三角形的直角顶点C叠放一起

（1）如图1，若CE恰好是∠ACD的角平分线，请你猜想此时CD是不是的∠ECB的角平分线？并简述理由；

（2）如图1，若∠ECD＝α，CD在∠ECB的内部，请猜想∠ACE与∠DCB是否相等？并简述理由；

（3）在如图2的条件下，请问∠ECD与∠ACB的和是多少？并简述理由．

Answer

（1）CD是∠ECB的角平分线，见解析；（2）∠ACE＝∠DCB，见解析；（3）∠DCE+∠ACB＝180°，见解析.

【解析】

（1）CD是∠ECB的角平分线，求出∠ECD＝∠BCD＝45°即可证明；（2）∠ACE＝∠DCB，求出∠ACE＝∠DCB＝90°﹣α即可；（3）∠DCE+∠ACB＝180°，根据∠DCE+∠ACB＝∠DCE+∠ACE+∠BCE＝∠ACD+∠BCE即可进行求解证明.

【解析】
（1）CD是∠ECB的角平分线，

理由是：∵∠ACD＝90°，CE是∠ACD的角平分线，

∴∠ECD＝∠ACD＝45°，

∴∠BCD＝90°﹣∠ECD＝45°＝∠ECD，

即CD是∠ECB的角平分线；

（2）∠ACE＝∠DCB，

理由是：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∠ECD＝α，

∴∠ACE＝90°﹣α，∠DCB＝90°﹣α，

∴∠ACE＝∠DCB；

（3）∠DCE+∠ACB＝180°，

理由是：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，

∴∠DCE+∠ACB＝∠DCE+∠ACE+∠BCE＝∠ACD+∠BCE＝90°+90°＝180°，

即∠DCE+∠ACB＝180°．