Question

如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG=GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

Answer

B

【解析】

由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由∠BAC≠30°可判断⑤错误．

∵四边形ABCD是平行四边形

∴BO=DO=BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，

又∵BD=2AD，

∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，

∴BE⊥AC，

故①正确，

∵E、F分别是OC、OD的中点，

∴EF∥CD，EF=CD，

∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，

∴GE=AB=AG=BG

∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，

故②错误，

∵BG=EF，AB∥CD∥EF

∴四边形BGFE是平行四边形，

∴GF=BE，且BG=EF，GE=GE，

∴△BGE≌△FEG（SSS）

故③正确

∵EF∥CD∥AB，

∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，

∵AG=GE，

∴∠GAE=∠AEG，

∴∠AEG=∠AEF，

∴AE平分∠GEF，

故④正确，

若四边形BEFG是菱形

∴BE=BG=AB，

∴∠BAC=30°

与题意不符合

故⑤错误

故选B．