Question

如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为____．

Answer

6或或

【解析】

由于本题的等腰三角形的底和腰不确定，分三种情况讨论：

①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；

②当AB=AP时，连接AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；

③当PA=PB时，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=3，利用勾股定理得OF=4，FP=9，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质可求出CG：BG的值，设BG=t，则CG=3t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，由勾股定理得出BC的长．

①当BA=BP时，

则AB=BP=BC=6，即线段BC的长为6；

②当AB=AP时，如图1，连接AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=3，

∴BD=DP，

在Rt△AEO中，AE=3，AO=5，

∴OE==4，

∵∠OAE=∠BAD，∠AEO=∠ADB=90°，

∴△AOE∽△ABD，

∴，即，

∴BD=，

∴BD=PD=，即PB=，

∵AB=AP=6，

∴∠ABD=∠APC，

∵∠PAC=∠ADB=90°，

∴△ABD∽△CPA，

∴，即，

∴CP=，

∴BC=BP-CP=-=；

③当PA=PB时，

如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，

∴AF=FB=3，

在Rt△OFB中，OB=5，FB=3，∴OF=4，

∴FP=9，

∵∠PAF=∠ABP=∠CBG，∠AFP=∠CGB=90°，

∴△PFB∽△CGB，

∴，

设BG=t，则CG=3t，

∵∠PAF=∠ACG，∠AFP=∠AGC=90°，

∴△APF∽△CAG，

∴，

∴，

解得t=，

∴BG=，CG=，

在Rt△BCG中，BC=，

综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为6或或；

故答案为：6或或．