Question

如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，AB为直径，弧CD=弧AD，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：BD平分∠ABE；

（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若BE=2，AB=8，求阴影部分的面积．

Answer

（1）见解析；（2）直线DE与圆O相切，理由见解析；（3）阴影部分的面积=π-．

【解析】

（1）根据圆周角定理，由弧CD=弧AD，得到∠CAD=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得∠DBE=∠CAD，所以∠ABD=∠DBE；

（2）连结OD，如图，利用内错角相等证明OD∥CE，而DE⊥BC，则OD⊥DE，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；

（3）利用扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积解答即可．

证明：（1）∵弧CD=弧AD，

∴∠CAD=∠ABD，

∵∠DBE=∠CAD，

∴∠ABD=∠DBE．

即BD平分∠ABE

（2）直线DE与圆O相切，理由如下：

连结OD，OC，如图，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

而∠OBD=∠DBE，

∴∠ODB=∠DBE，

∴OD∥CE，

∵DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线

（3）作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，

∴OD=EH，

∵BE=2，AB=8，

∴OB=OD=BD=4，

∴在Rt△DBE中，∠BDE=30°，

∴DE=2，

∴阴影部分的面积=π-．