Question

如图，在四边形ABCD中，∠C=60°，∠A=30°，CD=BC．

（1）求∠B+∠D的度数．

（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．

（3）若BC=2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE²=CE²+BE²，求点E运动路径的长度．

Answer

（1）∠D+∠B=270°；（2）AD2+AB2=AC2；理由见解析；（3）点E运动路径的长度是．

【解析】

（1）利用四边形内角和定理计算即可；

（2）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△QDC，连接AQ，证明∠QDA=90°，根据勾股定理可得结论；

（3）如图中，将△BCE绕C点顺时针旋转60°，得到△CDF，连接EF，想办法证明∠BEC=150°即可解决问题.

（1）在四边形ABCD中，∠C=60°，∠A=30°，

∴∠D+∠B=360°-∠A-∠C=360°-60°-30°=270°．

（2）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△QDC，连接AQ，

∴∠ACQ=60°，AC=CQ，AB=QD，

∴△ACQ是等边三角形，

∴AC=CQ=AQ，

由（1）知：∠ADC+∠B=270°，

∴∠ADC+∠CDQ=270°，

可得∠QDA=90°，

∴AD2+DQ2=AQ2，

∴AD2+AB2=AC2；

（3）将△BCE绕C点顺时针旋转60°，得到△CDF，连接EF，

∵CE=CF，∠ECF=60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF=CE，∠CFE=60°，

∵DE2=CE2+BE2，

∴DE2=EF2+DF2，

∴∠DFE=90°，

∴∠CFD=∠CFE+∠DFE=60°+90°=150°，

∴∠CEB=150°，

则动点E在四边形ABCD内部运动，满足∠CEB=150°，以BC为边向外作等边△OBC，

则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为，

∵OB=BC=2，

则==．

点E运动路径的长度是．