Question

我们定义：如图，在△中，把绕点按顺时针方向旋转得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称△是△的“旋补三角形”，△边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．

⑴ 特例感知：在如图、如图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”.

① 如图，当为等边三角形时，与的数量关系为＝       ；

② 如图，当，时，则长为        .

⑵ 精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点D的对应点为点A，点C的对应点为点B），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）

⑶ 猜想论证：在如图中，当△为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明.

Answer

⑴ ① ② 4；⑵ 作图见解析；⑶ ；见解析.

【解析】

（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得,即可解决问题；
②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；

（2）作线段AD、BC的垂直平分线，交点即为点P.
（3）结论：．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；

⑴ ①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为；

理由：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，

∵DB′=DC′，

∴AD⊥B′C′，

∵

∴

∴

∴

故答案为: .

②如图3,当，BC=8时，则AD长为4.

理由：∵

∴

∵AB=AB′,AC=AC′，

∴△BAC≌△B′AC′，

∴BC=B′C′，

∵B′D=DC′，

∴

故答案为:4.

⑵如图所示：（作线段AD、BC的垂直平分线，交点即为点P）

∴点P即为所求.

⑶

证明：理由：如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接E′M,C′M

∵B′D=DC′，AD=DM，

∴四边形AC′MB′是平行四边形，

∴AC′=B′M=AC，

∵

∴∠BAC=∠MB′A,

∵AB=AB′，

∴△BAC≌△AB′M，

∴BC=AM，

∴