Question

将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A₁BC₁D₁，点A、C、D的对应点分别为A₁、C₁、D₁

（1）当点A₁落在AC上时

①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD₁C为平行四边形；

②如图2，AD₁交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；

（2）如图3，当A₁D₁过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A₁A的长．

Answer

（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）

【解析】

（1）①首先证明△ABA1是等边三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解决问题．

②首先证明△OCD1≌△OBA（AAS），推出OC＝OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题．

（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解决问题．

（1）证明：①如图1中，

∵∠BAC＝60°，BA＝BA1，

∴△ABA1是等边三角形，

∴∠AA1B＝60°，

∵∠A1BD1＝60°，

∴∠AA1B＝∠A1BD1，

∴AC∥BD1，

∵AC＝BD1，

∴四边形ABD1C是平行四边形．

②如图2中，连接BD1．

∵四边形ABD1C是平行四边形，

∴CD1∥AB，CD1＝AB，

∠OCD1＝∠ABO，

∵∠COD1＝∠AOB，

∴△OCD1≌△OBA（AAS），

∴OC＝OB，

∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，

∴△DCO≌△ABO（SAS），

∴DO＝OA．

（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．

在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝5．AB＝3，

∴CA1＝＝4，

∵•A1C•A1B＝•BC•A1F，

∴A1F＝，

∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，

∴四边形A1EBF是矩形，

∴EB＝A1F＝，A1E＝BF＝，

∴AE＝3﹣＝，

在Rt△AA1E中，AA1＝＝．