Question

如图，直线y＝x和直线y＝﹣x+5相交于点M，直线PQ⊥x轴，分别交直线y＝﹣x+5和直线y＝x于点P、Q，点R是y轴上一点，若△PQR为等腰直角三角形．求点R的坐标．

Answer

点R的坐标是(0， )或(0，)或(0，)或(0，5)或(0，0)．

【解析】

首先求出PQ的长，分五种情况进行讨论：①如图1，当PR＝PQ时，△PQR为等腰直角三角形，根据PQ＝PR列方程求得；②如图2，当RQ＝PQ时，△PQR为等腰直角三角形，根据PQ＝RQ列方程求得；③如图3，当∠PRQ＝90°时，△PQR为等腰直角三角形，根据2RB＝PQ列方程求得；④⑤P在M的右侧，同理可得R的坐标．

【解析】
设直线PQ的解析式为：x＝h，

∴P(h，﹣h+5)、Q(h，h)，

∴PQ＝﹣h+5﹣h＝5﹣2h，

分三种情况：

①如图1，过P作PR⊥y轴于R，连接RQ，

当PR＝PQ时，△PQR为等腰直角三角形，

∴h＝5﹣2h，

h＝，

∴﹣h+5＝﹣+5＝，

∴R(0，)；

②如图2，过Q作QR⊥y轴于R，连接RP，

当RQ＝PQ时，△PQR为等腰直角三角形，

∴h＝5﹣2h，

h＝，

∴R(0，)；

③如图3，作线段PQ的中垂线l，交y轴于R，交PQ于B，连接PR、RQ，则PR＝RQ，

当∠PRQ＝90°时，△PQR为等腰直角三角形，

∴∠PRB＝∠QRB＝45°，

∴△PBR和△BRQ都是等腰直角三角形，

∴2RB＝2BQ＝PQ，

则2h＝5﹣2h，

h＝，

∴OR＝+(5﹣2h)＝+﹣＝，

∴R(0，)；

④如图4，P在交点M的右侧时，QR＝QP，

则h＝h﹣(﹣h+5)，

h＝5，

∴R(0，5)，

如图5，P在交点M的右侧时，QP＝RP，

同理可得R(0，0)，此时R与原点重合，

综上所述，若△PQR为等腰直角三角形．点R的坐标是(0，)或(0，)或(0，)或(0，5)或(0，0)．