Question

在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°．

(1)求证：△AOB是等边三角形；

(2)求∠BOE的度数．

Answer

(1)证明见解析；(2)∠BOE＝75°.

【解析】

(1)由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，∠CAE＝15°，即可证明△AOB是等边三角形;

(2)由等边三角形的性质，推出AB＝OB，求出∠OBC的度数，根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得到OB＝BE，然后可求出∠BOE．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE＝45°，

∵∠CAE＝15°，

∴∠BAC＝60°，

∴△AOB是等边三角形．

(2)∵△AOB是等边三角形，

∴AB＝OB，∠ABO＝60°，

∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，

∵∠BAE＝∠BEA＝45°

∵AB＝OB＝BE，

∴∠BOE＝∠BEO＝(180°﹣30°)＝75°．