Question

菱形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂，…，按照如图所示的方式放置．点A₁，A₂，A₃，…和点C₁，C₂，C₃，…分别在直线y＝kx+b和x轴上．已知∠A₁OC₁＝60°，点B₁(3，)，B₂(8，2)，则A_n的坐标是______(用含n的式子表示)

Answer

(3•2n﹣1﹣2，2n﹣1•)

【解析】

分别过A1、A2、A3作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，根据菱形的性质得四边形A1B1C1O和四边形A2B2C2C1都为菱形，则A1B1∥x轴，A2B2∥x轴，∠A2C1E＝∠A3C2F＝60°，在Rt△A1OD中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出OD＝1，OA1＝2，则A1(1，)，且OC1＝OA1＝2，接着在Rt△A2C1E中可计算出C1E＝2，A2C1＝4，则A2(4，2)，C1C2＝4，同理可得A3(10，4)，然后利用待定系数法求出直线解析式为y＝x+，由A1、A2、A3的纵坐标的规律可得An的纵坐标2n-1•，于是利用一次函数图象上点的坐标特征可求出An的横坐标，从而得到An的坐标．

【解析】
分别过A1、A2、A3作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，

∵∠A1OC1＝60°，而四边形A1B1C1O和四边形A2B2C2C1都为菱形，

∴∠A2C1E＝∠A3C2F＝60°，

在Rt△A1OD中，∵A1D＝，∠OA1D＝30°，

∴OD＝1，OA1＝2，

∴A1(1，)，OC1＝OA1＝2，

在Rt△A2C1E中，∵A2E＝2，∠C1A2E＝30°，

∴C1E＝2，A2C1＝4，

∴A2(4，2)，C1C2＝4，

同理可得A3(10，4)，

把A1(1，)，A2(4，2)分别代入y＝kx+b得，

解得．

∴直线解析式为y＝x+，

由A1、A2、A3的纵坐标的规律可得An的纵坐标2n-1•，

当y＝2n-1•时，x+＝2n﹣1•，

解得x＝3•2n-1﹣2．

∴An的坐标是(3•2n-1﹣2，2n-1•)．

故答案为(3•2n-1﹣2，2n-1•)．