Question

如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，且DG⊥CE，垂足为点G．

(1)求证：DC＝BE；

(2)若∠AEC＝54°，求∠BCE的度数．

Answer

（1）证明见解析（2）54°

【解析】

（1）由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=AB，即可得到DC=BE；
（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．

（1）∵G是CE的中点，DG⊥CE，

∴DG是CE的垂直平分线，

∴DE=DC，

∵AD是高，CE是中线，

∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，

∴DE=BE= AB，

∴DC=BE；

（2）∵DE=DC，

∴∠DEC=∠BCE，

∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，

∵DE=BE，

∴∠B=∠EDB，

∴∠B=2∠BCE，

∴∠AEC=3∠BCE=54°，则∠BCE=18°．