Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．

（1）求证：四边形BPEQ是菱形；

（2）F为AB的中点，则线段OF与线段AE有什么位置关系和数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，若AB＝6，OF＝4，求PQ的长．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）PQ＝．

【解析】

（1）先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形BPEQ是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；

（2）根据中位线定理即可求出线段OF与线段AE的位置关系和数量关系.

（3）根据勾股定理求出OB的长度，进而求出BE, 设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x．

在Rt△APB中，根据勾股定理列出方程，求出边长，根据菱形的面积公式进行求解即可.

（1）证明：∵PQ垂直平分BE，

∴PB＝PE，OB＝OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PEO＝∠QBO，

在△BOQ与△EOP中，∠PEO＝∠QBO，OB＝OE，∠POE＝∠QOB，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE＝QB，

又∵AD∥BC，

∴四边形BPEQ是平行四边形，

又∵QB＝QE，

∴四边形BPEQ是菱形；

（2）∵四边形BPEQ是菱形，

∴OB＝OE．

又∵F是AB的中点，

∴OF是△BAE的中位线，

∴AE∥OF且OF＝AE．

（3）∵AB＝6，F是AB的中点，

∴BF＝3．

∵OF∥AE，

∴∠BFO＝90°．

在Rt△FOB中，

∴BE＝10．

设菱形的边长为x，则AP＝8﹣x．

在Rt△APB中，BP2＝AB2+AP2，即x2＝62+（8﹣x）2，解得：x＝．

由菱形的面积公式可知： 解得：PQ