Question

知识再现：已知，如图，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延长CB至G使BG＝DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN＝BM+DN．

知识探究：（1）在如图中，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；

知识应用：（2）如图，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为     ；

知识拓展：（3）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的长．

Answer

（1）AB＝AH， 证明见解析；（2）3；（3）8 .

【解析】

（1）先证△ABG≌△ADN，再证△GAM≌△NAM，根据GM和NM是对应边，得到AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）；

（2）作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又AE=AD=AF，所以四边形AEGF是正方形，设设CD=x，则BG=6−2=4；CG=6− x；BC=2+ x，在Rt△BGC中，得x=3，所以CD的长为3．

（3）过点A作交EF于点M,证明△ABE≌△AME，得到 再证明≌,设DF=x，得到EF=12+ x；FC=24− x；EC=12，在Rt△EFC中, 解方程即可.

（1）答：AB＝AH，

证明：如图1

∵四边形ABCD是正方形，

∴

∴

又∵AB=AD，

∵在△ABG和△ADN中，

∴△ABG≌△ADN(SAS)，

∴

∵

∴

∴

即

∵在△GAM和△NAM中，

∴△GAM≌△NAM(SAS)，

又∵GM和NM是对应边，

∴AB=AH(全等三角形对应边上的高相等)；

(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，

∵AD是△ABC的高，

∴

∴

又∵

∴

延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，

又∵AE=AD=AF

∴四边形AEGF是正方形，

由(1)、(2)知：EB=DB=2，AE=AF=AD=EG=6，

设CD=x，

∴BG=6−2=4；CG=6− x；BC=2+ x，

在Rt△BGC中,

解得

故CD的长为3.

（3）如图3，过点A作交EF于点M,

在△ABE和△AME中，

∴△ABE≌△AME(AAS)，

在和中，

≌,

设DF=x，

∴EF=12+ x；FC=24− x；EC=12，

在Rt△EFC中,

解得

故DF的长为8.

图3