Question

在一次数学探究活动课中，某同学有一块矩形纸片ABCD，已知AD=13，AB=5，M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM，若△NBC是直角三角形，则所有符合条件的M点所对应的AM的和为__________．

Answer

26

【解析】

解：①若M接近A，如图1，此时∠BNC=90°，但∠BNM=∠A=90°，∴M、N、C共线，由面积法S△BMC=MC•BN=×13×5，而BN=AB=5，∴MC=13，从而由勾股定理得：DM=12，AM=1．

②若M在AD上，但使∠ABM＞45°，如图2，此时∠BNC＞∠BNM=∠A=90°，∴△BCN不可能是Rt△．

③若M在AD的延长线上，如图3，要使∠BNC=∠BNM=∠A=90°，则M、C、N共线．设MD= x，则，AM=13+ x，MN =13+ x ．∵CN=12，∴MC=13+ x -12= x +1．在R t△CDM中，由勾股定理得：，解得：x =12，故AM=25．

综上所述：所有MA的和=1+25=26．故答案为：26．