Question

如图，△ABC中，AB=AC，AB是⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，点E在AC上，且∠ADE=∠B．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为5，CE=2，求△ABC的面积．

Answer

（1）见解析；（2）S△ABC =40.

【解析】

（1）连接OD，证明OD⊥DE即可．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，因此∠B+∠BAD=90°．因为AO=DO，所以∠BAD=∠ADO．因为∠ADE=∠B，所以∠ADO+∠ADE=90°，即∠ODE=90°．可证DE是⊙O的切线；

（2）由AB=AC，∠ADB=90°可得点D是BC的中点，所以△ABC的面积是△ADC面积的2倍．因为点O是AB的中点，点D是BC的中点，可得AC=2DO=10，∠AED=180°-∠ODE=90°．因为CE=2，所以AE=8，根据射影定理DE2=AE•CE，所以DE=4，所以S△ABC=2S△ADC=2×（×AC•DE）=40．

（1）连接OD，

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°，

∴∠B+∠BAD=90°，

∵AO=DO，

∴∠BAD=∠ADO，

∵∠ADE=∠B，

∴∠ADO+∠ADE=∠BAD+∠B=90°，

即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）由（1）知，∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴AD是△ABC的中线，

∴点D是BC的中点，

又∵OB=OA，

∴DO是△ABC的中位线，

∵⊙O的半径为5，

∴AC=2DO=10，

∵CE=2，

∴AE=AC-CE=8，

∵DO是△ABC的中位线，

∴DO∥AC，

∴∠EDO+∠AED=180°，

∴∠AED=90°，

∴∠AED=∠DEC=90°，

∴∠EDC+∠C=90°，

∵ADC=180°-∠ADB=90°，

∴∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠C，

∵∠AED=∠DEC，∠ADE=∠C，

∴△AED～△DEC，

∴即，

∴DE=4，

∴S△ADC=AC•DE=20，

∵AD是△ABC的中线，

∴S△ABC=2S△ADC=40.