Question

已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，对称轴是直线．

求抛物线的解析式；

如图，求外接圆的圆心M的坐标；

如图，在BC的另一侧作，射线CF交抛物线于点F，求点F的坐标．

Answer

（1）（2）点的坐标为；（3）点的坐标为

【解析】

（1）根据抛物线的对称性，结合已知条件求得点B的坐标为，设抛物线解析式为，整理可得，所以，解得，即可求得抛物线解析式为；（2）先求得，由外接圆的圆心M在AB的垂直平分线上，可得，，由两点间的距离公式可得，解得，即可求得点的坐标为；（3）直线交BC于H，延长AH交CF于G，易得为等腰直角三角形，所以，，再由可得，根据中点坐标公式求得点G的坐标，利用待定系数法求得直线CG的解析式，把直线CG的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组，解方程组即可求得点F的坐标.

【解析】
抛物线的对称轴为直线，

点关于直线的对称点B的坐标为，

设抛物线解析式为，

即，

，解得，

抛物线解析式为；

当时，，则，

外接圆的圆心M在AB的垂直平分线上，如图1，

设，

，

，解得，

点的坐标为；

直线交BC于H，延长AH交CF于G，如图2，

，

为等腰直角三角形，

，

而，

为等腰直角三角形，

，，

，

，

设，

，，

，，

，

设直线CG的解析式为，

把，代入得，解得，

直线CG的解析式为，

解方程组得或，

点的坐标为