Question

如图一，菱形与菱形的顶点重合，点在对角线上，且.

（1）问题发现：

的值为________；

（2）探究与证明：

将菱形绕点按顺时针方向旋转角（），如图二所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

菱形在旋转过程中，当点，，三点在一条直线上时，如图三所示，连接并延长，交于点，若，，则的长为________.

Answer

（1）；（2）,理由见解析；（3）AH＝3

【解析】

（1）过点做，证明菱形菱形，根据菱形的性质得到，，得到，即可求出的值.

（2）证明，根据相似三角形的性质得到，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解.

（3）证明，得到，根据，，得到，即可求解.

（1）如图一:过点做，

∵四边形与四边形都是菱形，点在对角线上，

且.

∴菱形菱形，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴.

∴.

（2）如图二，连接，∵四边形与四边形都是菱形，

且，

∴菱形菱形.

∵、分别是菱形和菱形的对角线，

∴，，

∴，∴，∴，

∴.

由旋转性质知，

∴，

∴，

∴线段与之间的数量关系为；

（3）∵在菱形与菱形中，∵，，，

∵点、、三点共线，∴，∴，

∴在与中，

∵，，

∴，

∴，

同（1）可知，∵，，∴，∴，

∴，

∴.