Question

（1）如图，为正三角形，点为边上任意一点，以为边作正，连接，求的值；

（2）如图，为等腰直角三角形，，点为腰上任意一点，以为斜边作等腰直角，连接，求的值；

（3）如图，为任意等腰三角形，点为腰上任意一点，以为底边作等腰，使，并且BC=AC，连接，写出的值，并说明理由.

Answer

（1）1；（2） （3）.

【解析】

（1）由三角形ABC与三角形CDE都为正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及内角为60°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB与三角形DCA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AD，即可求出所求之比；

（2）由三角形CDE与三角形ABC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到CE=CD，BC=AC，以及锐角为45°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形ECB与三角形DCA相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出所求之比；

（3）仿照前两问，推理过程类似，求出所求之比即可．

（1）∵△ABC和△CDE都是正三角形，

∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AB=AC，CE=DC，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-∠ACE，

∠DCA=∠DCE-∠ACE=60°-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

在△ECB和△DCA中，

，

∴△ECB≌△DCA（SAS），

∴BE=AD，

则=1；

（2 ）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，

∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°，CE=DC，BC=AC，

∴，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-∠ACE，

∠ACD=∠DCE-∠ACE=45°-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴；

（3）依此类推，当BC=AC时，，理由为：

∵等腰△ABC和等腰△CDE中，

∴∠B=∠ACB=∠DCE，CE=DC，BC=AC，

∴，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴．