Question

在平面直角坐标系中，抛物线yx²沿x轴正方向平移后经过点A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），其中x₁，x₂是方程x²﹣2x＝0的两根，且x₁＞x₂，

（1）如图．求A，B两点的坐标及平移后抛物线的解析式；

（2）平移直线AB交抛物线于M，交x轴于N，且，求△MNO的面积；

（3）如图，点C为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点C作直线交抛物线于E、F，交x轴于点D，探究的值是否为定值？如果是，求出其值；如果不是，请说明理由．

Answer

（1）点A坐标为（2，0），点B坐标为（0，1），;（2）12或28；（3）为定值，定值为1．

【解析】

（1）解方程x2﹣2x＝0得x1＝2，x2＝0．即可求得点A坐标为（2，0），抛物线解析式为 ，把x＝0代入抛物线解析式得y＝1，即可得点B坐标为（0，1）；（2）如图，过M作MH⊥x轴，垂足为H，由AB∥MN，即可得△ABO∽△MHN，根据相似三角形的性质可得，由此求得MH＝4，HN＝8，将y＝4代入抛物线求得x1＝﹣2，x2＝6，所以M1（﹣2，4），N1（6，0），M2（6，4），N2（14，0）,由此求得△MNO的面积即可；（3）设C（2，m），求得CD解析式为y＝kx+m﹣2k，令y＝0得kx+m﹣2k＝0，由此求得点D为（，0）；把CD的解析式与抛物线的解析式联立，消去y得，kx+m﹣2k＝（x﹣2）2．化简得x2﹣4（k+1）x+4﹣4m+8k＝0，由根与系数关系得，x1+x2＝4k+4，x1•x2＝4﹣4m+8k．过E、F分别作EP⊥CA于P，FQ⊥CA于Q，由AD∥EP，AD∥FQ，可得＝ ＝（﹣2）×＝＝1，由此可得为定值，定值为1．

（1）解方程x2﹣2x＝0得x1＝2，x2＝0．

∴点A坐标为（2，0），抛物线解析式为 ．

把x＝0代入抛物线解析式得y＝1．

∴点B坐标为（0，1）．

（2）如图，过M作MH⊥x轴，垂足为H

∵AB∥MN

∴△ABO∽△MHN

∴

∴MH＝4，HN＝8

将y＝4代入抛物线

可得x1＝﹣2，x2＝6

∴M1（﹣2，4），N1（6，0），M2（6，4），N2（14，0）,

∴

（3）设C（2，m），设直线CD为y＝kx+b

将C（2，m）代入上式，m＝2k+b，即b＝m﹣2k．

∴CD解析式为y＝kx+m﹣2k，

令y＝0得kx+m﹣2k＝0，

∴点D为（，0）

联立，

消去y得，kx+m﹣2k＝（x﹣2）2．

化简得，x2﹣4（k+1）x+4﹣4m+8k＝0

由根与系数关系得，x1+x2＝4k+4，x1•x2＝4﹣4m+8k．

过E、F分别作EP⊥CA于P，FQ⊥CA于Q，

∴AD∥EP，AD∥FQ，

∴＝

＝（﹣2）×

＝

＝1

∴为定值，定值为1．